大学物理3 期末复习

1.1 光量子、玻尔原子

1.1.1 黑体辐射与普朗克的量子假设

热辐射

由于热运动发射的电磁波被称为热辐射。
热辐射具有连续的辐射谱
辐射能按照波长的分布主要决定于物体的温度。温度越高，辐射能越大，强度向短波长转移。同一物体的热辐射谱在不同波长区域分布不均匀，温度越高，最大辐射对应的波长越短，同时辐射总能量增加
室温下物体的辐射主要位于红外区

基尔霍夫辐射定律

单色辐出度，单位时间内从物体表面单位面积上发射的波长 $λ \sim λ + d λ$ 的辐射能 $d E_{λ}$ 与 $d λ$ 的比值 $M (λ, T)$ 。
总辐出度，单位时间内从物体表面单位面积上发射的各种波长的总辐射能
单色吸收比，单位时间内从物体表面单位面积上对波长在 $λ \sim λ + d λ$ 范围的外界辐射的吸收能量和入射能量的比值 $a (λ, T)$
相同温度下，不同物体对相同波长的单色辐出度和单色吸收比之间的比值相等 $M_{0} (λ, T)$ 。这说明物体吸收能量和辐射能量的能力是成固定比例的，越黑的物体，吸收的更多，辐射的也更多。
黑体辐射
- 总辐出度满足斯特凡玻尔兹曼定律 $M_{0} (T) = σ T^{4}$
- 单色辐出度的峰值波长满足韦恩位移定律 $λ_{m} T = b$

普朗克量子假说，假设谐振子能量只能取 $ε$ 的倍数

\begin{matrix} M_{0} (λ, T) = 2 π h \frac{c^{2}}{λ^{5}} \frac{1}{e^{h c / k_{B} T λ} - 1} \\ | M_{0} (λ, T) d λ | = | M_{0} (ν, T) d ν | \\ M_{0} (ν, T) = \frac{c}{ν^{2}} \cdot M_{0} (λ, T) = 2 π h \frac{ν^{3}}{c^{2}} \frac{1}{e^{h ν / k_{B} T} - 1} \\ u (λ, T) = \frac{4}{c} M_{0} (λ, T) = 8 π h \frac{c}{λ^{5}} \frac{1}{e^{h c / λ k_{B} T} - 1} \end{matrix}

波长短时可以近似为韦恩公式 $M_{0} (λ, T) = 2 π h c^{2} λ^{- 5} e^{- h c / k_{B} T λ}$
波长长时可以近似为瑞丽公式 $M_{0} (λ, T) = 2 π c k_{B} T λ^{- 4}$

1.1.2 光的波粒二象性

光电效应

饱和电流。入射光强度不变，加速电势差越大，光电流在一定范围内也越大，达到饱和之后不再增大
入射光强度越大，饱和电流越高
遏制电势差。电势差为零时光电流不为零，金属表面逸出电子存在初始动能，浮点是差足够大时，光电流归零。遏制电压取决于光电子的初动能，与入射光频率有关，与入射光强度无关
红限频率，改变入射光频率，遏制电势差与入射光频率之间存在线性关系 $U = K ν - U_{0}$ ，其中 $K$ 与金属种类无关， $U_{0}$ 取决于金属种类
弛豫时间，无论入射光的强度，金属释放电子都是瞬间的

光子理论：

光子质量 $m = E / c^{2} = h ν / c^{2}$ 动量 $p = m c = E / c = h ν / c = h / λ$

康普顿效应

X 射箭经石墨散射，散射波长中存在大于原波长的成分
波长差随着散射角变化，散射角变大，波长差也变大。随散射角增大，原波长谱线强度减弱，新波长谱线强度增加。光子与电子发生碰撞改变运动方向，一部分能量传递给了电子，光子能量降低，根据 $E = h ν$ 可以解释散射波场中存在大于原波长的成分
相同散射角下所有散射物质的波长差都相同，但是元波长的谱线强度随着散射物质的原子序数增大而增大。如果光子与原子钟束缚紧的电子碰撞，光子将与整个原子做弹性碰撞，散射光的能量不会显著减小
能量 $h ν_{0}$ 和动量 $h ν_{0} / c$ 的光子与电子发生碰撞后与原入射方向呈 $θ$ 角，散射光子能量 $h ν$ 动量 $h ν / c$ ，反冲电子获得一个与光速差不多的速率沿着角度 $ϕ$ 飞出，电子能量从 $m_{e} c^{2}$ 变为 $m c^{2}$ ，动量变为 $m v$ ，其中 $m = m_{e} / \sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}$
- 能量守恒 $h ν_{0} = h ν + (m - m_{e}) c^{2}$
- $x$ 方向动量守恒 $h ν_{0} / c = h ν / c \cos θ + m v \cos ϕ$
- $y$ 方向动量守恒 $0 = h ν \sin θ - m v \sin ϕ$
- 三个守恒方程 + 运动质量公式，常数 $m_{e}, c, h$ ，已知量（实验控制的） $ν_{0}, θ$ ，未知量 $ν, m, v, ϕ$ 。
  - 能量守恒是 $ν, m$ 的关系， $x$ 方向动量守恒是 $ν, m, v, ϕ$ 的关系， $y$ 方向动量守恒是 $ν, m, v, ϕ$ 的关系，运动质量公式是 $m, v$ 的关系
  - 两个方向的动量守恒可以消去 $ϕ$ 得到一个 $ν, m, v$ 的关系，接下来消去 $v$ 再消去 $m$ 就可以解出 $ν$
- $Δ λ = c (1 / ν - 1 / ν_{0}) = \frac{h}{m_{e} c} (1 - \cos θ)$ 波长差与散射物质和入射光波长无关，仅取决于散射方向

波尔原子理论

1.2 物质波

1.2.1 德布罗意关系

1.2.2 不确定度关系

1.3 薛定谔方程

1.4 波函数和态叠加原理

hrome## 1.4.1 波函数的概率意义

\begin{matrix} ρ (r, t) = Ψ^{⋆} (r, t) Ψ (r, t) \\ ∭_{Ω} ρ (r, t) d V = 1 \end{matrix}

1.4.2 概率守恒

\begin{matrix} \frac{\partial ρ}{\partial t} = Ψ^{⋆} \frac{\partial Ψ}{\partial t} + \frac{\partial Ψ^{⋆}}{\partial t} Ψ \\ \frac{\partial Ψ}{\partial t} = \frac{i ℏ}{2 m} \nabla^{2} Ψ - \frac{i}{ℏ} U Ψ \\ \frac{\partial Ψ^{⋆}}{\partial t} = - \frac{i ℏ}{2 m} \nabla^{2} Ψ^{⋆} + \frac{i}{ℏ} U Ψ^{⋆} \\ \frac{\partial ρ}{\partial t} = Ψ^{⋆} (\frac{i ℏ}{2 m} \nabla^{2} Ψ - \frac{i}{ℏ} U Ψ) + (- \frac{i ℏ}{2 m} \nabla^{2} Ψ^{⋆} + \frac{i}{ℏ} U Ψ^{⋆}) Ψ \\ \frac{\partial ρ}{\partial t} = \frac{i ℏ}{2 m} (Ψ^{⋆} \nabla^{2} Ψ - Ψ \nabla^{2} Ψ^{⋆}) \\ J = - \frac{i ℏ}{2 m} (Ψ^{⋆} \nabla Ψ - Ψ \nabla Ψ^{⋆}) \\ \frac{\partial ρ}{\partial t} + \nabla \cdot J = 0 \end{matrix}

20 量子力学的基本原理

20.1 波函数及其统计解释

20.1.1 德布罗意物质波假设

波的基础复习

简谐波在某时刻某处的位移可以通过其相位和振幅唯一确定，相位 $ϕ : 0 \to 2 π$ 表示处在周期中的位置
时间维度：
- 周期 $T = 1 / ν$ （重复一个周期需要的时间）
- 频率 $ν$ （单位时间内能够重复的周期个数）
- 圆频率 $ω = 2 π / T = 2 π ν$ （在 $2 π$ 时间内包含了多少个完整的波，或者单位时间内经过的相位）， $ω t (t : 0 \to T)$ 对应 $ϕ : 0 \to 2 π$ ，即经过一个周期。
空间维度：
- 波长 $λ$ （重复一个周期需要的空间距离）
- 波数 $\tilde{ν} = 1 / λ$ （单位距离能够重复的周期个数）
- 角波数 $k = 2 π / λ$ （在 $2 π$ 空间距离内包含了多少个完整的波，或者单位空间距离内经过的相位）， $k x (x : 0 \to λ)$ 对应 $ϕ : 0 \to 2 π$ 即经过一个周期
时空维度是相互独立的，传播速度 $v = λ / T = λ ν = ω / k = ν / \tilde{ν}$ 是联系波时空两个维度的唯一信息
单色波：单一频率、时空无限延伸的波，利用 $ω = 2 π ν = \frac{2 π}{h} E$ 和 $k = \frac{2 π}{λ} = \frac{2 π}{h} p$ 并约定 $ℏ = \frac{h}{2 π}$

\begin{aligned} u (x, t) & = u (0, t - x / v) \\ = A \cos (ω (t - \frac{x}{v}) + ϕ_{0}) \\ = A \cos (w t - k x + ϕ_{1}) \\ = Re [ψ_{0} \exp (- i (w t - k x))] \\ = Re [ψ_{0} \exp (- \frac{i}{ℏ} (E t - p x))] \end{aligned}

假设内容：关联频率和波数到能量和动量

\begin{matrix} E = h ν \\ p = h / λ = h \tilde{ν} \end{matrix}

为什么比例是普朗克常数？

为什么波的时间维度关联到能量而空间维度关联到动量？

相对论视角
Neother 定理视角

实验验证：

理论基础： $U = 150 V$ 电压加速电子后的波长约为 $1 A^{\circ}$ ，这与晶体原子间距的数量级相当，所以可以使用类似晶体对 X 射线的衍射（证明 X 射线是一种电磁波）的晶体对电子束的衍射。
具体实验：用单晶反射，探测器的电流强度（电子束密度）的极大值满足 $2 d \sin θ = k λ = k \frac{12.25}{\sqrt{U}}$

20.1.3波函数

这个被德布罗意假设关联到的 "虚拟的波" 的直接物理意义？

意义1：其波函数在某一点处的模长平方为为粒子空间分布在该点的概率密度 $ρ (r, t) = | ψ (r, t) |^{2}$ ，满足归一化条件。

20.2 不确定关系

20.2.1 位置与动量不确定性关系

海森堡不确定性原理： $Δ x \cdot Δ p_{x} \geq ℏ / 2$

例子1：电子单缝衍射，单缝宽度 $Δ x$ ，中央亮纹的半角宽度 $ψ \approx \sin ϕ \approx λ / Δ x = h / p Δ x$ ，动量不确定度 $Δ p_{x} \approx p \tan ϕ = p ϕ = h / Δ x$ ，

例子2：激光的谱线宽度 $Δ λ$ 决定 $Δ p = h / λ^{2} Δ λ$ ，相干长度为 $Δ x$

例子3：线性谐振子的基态能量（利用弹性系数 $k = m ω^{2}$ 、 $\overset{―}{x} = 0$ 、 $\overset{―}{p} = 0$ ）

\begin{aligned} \overset{―}{E} & = \frac{\overset{―}{p^{2}}}{2 m} + \frac{1}{2} m ω^{2} \overset{―}{x^{2}} \\ = \frac{(Δ p)^{2}}{2 m} + \frac{1}{2} m ω^{2} (Δ x)^{2} \\ (AM-GM) & \geq ω Δ p Δ x \\ \geq \frac{ℏ}{2} ω \end{aligned}

20.2.2 能量与时间不确定性关系

对于光子 $Δ x = c Δ t, Δ E = c Δ p$ ，有 $Δ E \cdot Δ t \geq \frac{ℏ}{2}$

例子1：粒子处于某量子态的寿命和该量子态能量不确定范围，能量不确定范围可以转化为原子谱线自然宽度。

20.3 薛定谔方程

20.3.1 猜测波函数满足的方程

机械波波函数满足波动方程 $\frac{\partial y}{\partial t^{2}} = v^{2} \frac{\partial y}{\partial x^{2}}$

我们通过自由粒子的波函数一维形式 $ψ (x, t) = ψ_{0} \exp (- \frac{i}{ℏ} (E t - p x))$ 来推导自由粒子波函数满足的波动方程并推广到（猜测）非自由粒子。

自由粒子的薛定谔方程

\begin{aligned} (1) & i ℏ \frac{\partial ψ (x, t)}{\partial t} & = E ψ (x, t) \\ (2) & - i ℏ \frac{\partial ψ (x, t)}{\partial x} & = p ψ (x, t) \\ \frac{\partial^{2} ψ (x, t)}{\partial x^{2}} & = - \frac{p^{2}}{ℏ^{2}} ψ (x, t) \\ (3) & - \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2} ψ (x, t)}{\partial x^{2}} & = E ψ (x, t) \\ (Final) & - \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2} ψ (x, t)}{\partial x^{2}} & = i ℏ \frac{\partial ψ (x, t)}{\partial t} \end{aligned}

推广到非自由粒子，在 3 式的推导中 $\frac{p^{2}}{2 m} = E$ 需要替换为 $\frac{p^{2}}{2 m} = E - U (x, t)$ ，得到含时薛定谔方程

\begin{matrix} \hat{H} ψ (x, t) = i ℏ \frac{\partial ψ (x, t)}{\partial t} \\ \hat{H} = - \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + U (x, t) \end{matrix}

其中 $\hat{H}$ 被称为哈密顿算符

以上两个方程都可以简单地推广到三维情形。

薛定谔方程对于时间和坐标的导数不对称？没有考虑相对论效应

20.3.2 定态薛定谔方程

势函数与时间无关 $U (r, t) = U (r)$ ，此时含时薛定谔方程可以用分离变量法求解

\begin{gather} \psi(\boldsymbol{r},t) = \phi(\boldsymbol{r})T(t) \tag{1}\\ i\hbar \frac{1}{T(t)} \frac{ \mathrm{d} T(t) }{ \mathrm{d} t } = \frac{1}{\phi(\boldsymbol{r})} \hat{H}\phi(\boldsymbol{r})\tag{2} \\ \frac{1}{T(t)}\mathrm{d} T(t) = -\frac{i}{\hbar}E \mathrm{d} t \\ T(t) = C_{1}\exp\left( -\frac{i}{\hbar}Et \right) \tag{3} \\ \left( -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + U(\boldsymbol{r}) \right)\phi(\boldsymbol{r}) = E\phi(\boldsymbol{r}) \tag{4} \\ |\psi(\boldsymbol{r},t)|^2=\left| \phi(\boldsymbol{r})\exp\left( -\frac{i}{\hbar}Et \right)\right|^2 = \left| \phi(\boldsymbol{r}) \right| {#2} \tag{5} \end{gather}

其中 4 式被称为定态薛定谔方程、哈密顿算符的本征方程。求解定态问题等价于求解定态薛定谔方程。

20.4 量子力学的基本假设

假设1：粒子的运动状态完全由波函数决定，两个波函数决定相同的粒子运动状态当且仅当它们仅仅相差一个常数虚数指数 $\exp (i α)$ （整体旋转的全局相位因子）
假设2：波函数满足薛定谔方程
假设3：力学量的算符表示
假设4：叠加态原理

20.4.1 力学量的算符表示

\begin{matrix} \hat{x} = x, \hat{r} = r \\ {\hat{p}}_{x} = - i ℏ \frac{\partial}{\partial x}, \hat{p} = - i ℏ \nabla \\ \hat{E_{k}} = \frac{{\hat{p}}^{2}}{2 m} = \frac{\hat{p} \cdot \hat{p}}{2 m} = \frac{ℏ^{2}}{2 m} \nabla^{2} \\ \hat{H} = \frac{{\hat{p}}^{2}}{2 m} + U (r) = i ℏ \frac{\partial}{\partial t} \\ \hat{L} = \hat{r} \times \hat{p} = (\begin{matrix} i & j & k \\ x & y & z \\ p_{x} & p_{y} & p_{z} \end{matrix}) \\ {\hat{L}}_{x} = y \hat{p_{z}} - z \hat{p_{y}} \\ {\hat{L}}_{y} = z \hat{p_{x}} - x \hat{p_{y}} \\ {\hat{L}}_{z} = x {\hat{p}}_{y} - y {\hat{p}}_{x} \\ {\hat{L}}^{2} = \hat{L} \cdot \hat{L} = {\hat{L}}_{x}^{2} + {\hat{L}}_{y}^{2} + {\hat{L}}_{z}^{2} \end{matrix}

算符 $\hat{F}$ 的本征值 $λ$ 本征波函数 $ϕ$ 满足 $\hat{F} ϕ = λ ϕ$ （这就是算符的定义），算符的本征值就是力学量的可能取值

20.4.2 叠加态原理

力学量对应的算符本征态是粒子的可能状态，叠加态为满足归一化条件的本征态的线性组合 $ψ = \sum_{i \in I} C_{i} ϕ_{i}$ 。根据不同特征值对应的特征向量相互正交的特性， ${| ψ |}^{2} = \sum_{i \in I} {| C_{i} |}^{2}$ 。

对叠加态进行测量，出现 $ϕ_{i}$ 的概率为 ${| C_{i} |}^{2}$ 。测量会使叠加态以对应的概率坍缩到某一个本征态。

20.5 一维定态问题

20.5.1 一维无限深势阱中的粒子

\begin{aligned} U (x) & = {\begin{cases} 0, 0 \leq x \leq a \\ \infty, x > a \lor x < 0 \end{cases} \\ ϕ (x) & = {\begin{cases} \sqrt{\frac{2}{a}} \sin \frac{n π}{a} x, 0 \leq x \leq a \\ 0, x \geq a, x \leq 0 \end{cases} \\ E_{n} & = \frac{n^{2} π^{2} ℏ^{2}}{2 m L^{2}} \end{aligned}

\begin{aligned} U (x) & = {\begin{cases} 0, - \frac{a}{2} \leq x \leq \frac{a}{2} \\ \infty, x > \frac{a}{2} \lor x < - \frac{a}{2} \end{cases} \\ ϕ (x) & = {\begin{cases} \sqrt{\frac{2}{a}} \sin \frac{n π}{a} x, | x | \leq \frac{a}{2}, n is even \\ \sqrt{\frac{2}{a}} \cos \frac{n π}{a} x, | x | \leq \frac{a}{2}, n is odd \\ 0, | x | \geq a \end{cases} \end{aligned}

能级间隔与粒子的质量有关，质量越小能级间隔越大。
如果 $L \to \infty$ ，同样近似为能量连续取值
$p_{n} = \pm \sqrt{2 m E_{n}} = \pm n π ℏ / L = \pm n h / 2 L$ ， $λ_{n} = h / | p_{n} | = h / \sqrt{2 m E_{n}} = 2 L / n$ ，满足半波长的整数倍为 $L$

20.5.2 一维谐振子（抛物线势阱）

20.6 氢原子量子理论

利用球坐标系求解

本征值

\begin{aligned} E_{n} & = - \frac{m e^{4}}{2 ℏ^{2} (4 π ε_{0})^{2}} \frac{1}{n^{2}} = - 13.6 \frac{1}{n^{2}} eV \\ L^{2} & = l (l + 1) ℏ^{2} \\ L_{z} & = m_{l} ℏ \end{aligned}

$n$ 为主量子数， $l$ 为角量子数， $m_{l}$ 为磁量子数。二者必须满足

取定 $n$ 之后 $l \in {0, 1, 2, \dots, n - 1}$
取定 $l$ 之后 $| m_{l} | \leq l$

电子的角度波函数为球谐函数 $Y_{l m} (θ, φ)$ ，与角量子数和磁量子数有关，它是 $\hat{L^{2}}$ 和 $\hat{L_{z}}$ 的共同本征函数，本征方程为

\begin{aligned} \hat{L^{2}} Y_{l m} (θ, φ) & = l (l + 1) ℏ^{2} Y_{l m} (θ, φ) \\ \hat{L_{z}} Y_{l m} (θ, φ) & = m ℏ Y_{l m} (θ, φ) \end{aligned}

径向波函数与主量子数和角量子数有关，为 $R_{n l} (r)$

电子在空间点 $(r, θ, φ)$ 处 $d V$ 出现的概率为 ${| ψ |}^{2} r^{2} \sin θ d r d θ d φ = {| r R_{n l} (r) |}^{2} {| Y_{l m} (θ, φ) |}^{2} \sin θ d r d θ d φ$ ，对方向积分之后给出在 $r \sim r + d r$ 球壳的概率 $W_{n l} (r) d r = R_{n l}^{2} (r) r^{2} \cdot (\int {| Y_{l m} (θ, φ) |}^{2} \sin θ d Ω_{θ, φ}) = R_{n l}^{2} (r) r^{2} d r$ ， $u_{n l}^{2} (r) = r^{2} R_{n l}^{2} (r)$ 称为电子的径向概率密度。电子沿径向的概率分布是连续的， $r_{n} = n^{2} a_{0}$ 是其极大值位置